京大 2016年 数学 (一部解答)

略解です.4は解いてません(計算したくないからです.すみません)
1番:
(1)微分するだけ.(1+1/n)*(1-(1/n^2))^((n-1)/2) が答え.
(2)(1-(1/n^2))^(n(n-1))={(1-(1/n^2))^(n^2)}{(1-(1/n^2))^(n^2)}^(-1/n) と変形するのがポイント.答えは√e

2番:
p=2,q=3が答え.mod.3で眺めるのがポイント.

3番:
初等幾何的にやる.Oから垂線をひいてHとし,HA=HB=HCかつOHが共通なので三平方からOA=OB=OCが導かれる.
同様にAから垂線を引いて同じ議論により結論がえられる.

5番
n回目の試行でx座標が0,1,2である確率をa_n,b_n,c_nとするとa_n+b_n+c_n=1でa_0=1
a_(n+1)=a_n/2+b_n/3
c_(n+1)=c_n/2+b_n/3
b_(n+1)=(a_n+c_n)/2+(b_n)/3
となってa_n+c_n とa_n-c_nについて解いてa_nを出せば良い.計算はしてません.
(と思ったらb_nについて簡単に解けるのでa_n-c_nだけでいいですね)

6番
1つめの条件より2次方程式x^2+ax+b=0の解をp,qとすると(p,qは複素数)
(p^3)^2+a(p^3)+b=0
(q^3)^2+a(q^3)+b=0
よりp^3,q^3も2次方程式の解になっている.
p=qのとき,pが解ならp^3も解よりp^3=pからp(p^2-1)=0でpはp=0またはp=±1で,このときどれであれ条件2は満たさない.
p≠qのとき,
(A)p^3=q^3である場合
p^3はp,qのどちらかに一致し,p=p^3またはq=p^3=q^3であって,
p=p^3のときはp=0,p=1,p=-1でp=0のときはp^3=0よりq=0となり不適
p=1のときはp^3=1より,qはq^2+q+1=0を満たす複素数であればよい.この解をα,βとする.
p=-1のときはp^3=-1よりqはq^2-q+1=0を満たす複素数であればよい.この解をγ,δとする.
すると求める二次式は(x-1)(x-α) (x-1)(x-β) (x+1)(x-γ) (x+1)(x-δ)
なおα,β=(-1±√3i)/2 γ,δ=(1±√3i)/2 より
x^2-(1+√3i)x/2+(-1+√3i)/2
x^2-(1-√3i)x/2 +(-1-√3i)/2
x^2-(-1+√3i)x/2+(-1-√3i)/2
x^2-(-1-√3i)x/2+(-1+√3i)/2

(B)p^3≠q^3である場合
(i)
p^3=p
q^3=q

(ii)
p^3=q
q^3=p
のパターンがありえる.

(i)簡単な計算により条件2を満たさないことがわかる.

(ii)こちらが本命.
p=r(cθ+isθ)
q=R(cφ+isφ) と表示すれば, 条件は

r^3=R
R^3=r

3θ= φ+2kπ
3φ =θ+2lπ (k,lは整数)
を満たす実数r,R(≧0),θ,φを考える問題に帰着され,
解くとr=R=1,
θ=(k+3l)π/4
φ=(3k+l)π/4
となる.

k+3l=dとおくとdは全ての整数値をとれる.
k=d-3lとして
θ=dπ/4
φ=(3d-8l)π/4=3dπ/4
よって,(πを省略)
(θ,φ)=(1/4,3/4),(1/2,3/2),(3/4,1/4),(5/4,7/4),(3/2,1/2),(7/4,5/4)
となり,結局
(θ,φ)=(1/4,3/4),(1/2,3/2),(5/4,7/4)
の場合を考えれば良い.
(1/2,3/2)のときはx=i,x=-iで不適.
よって求める二次式は (1/4,3/4)と(5/4,7/4)のとき.
(x-(√2/2+i√2/2))(x-(-√2/2+i√2/2))=x^2-√2i-1
(x-(-√2/2-i√2/2))(x-(√2/2-i√2/2))=x^2+√2i-1

6番は難しいかも.でも2,3が簡単過ぎる.1,5は並ですね.たぶん4も大したことない
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Author:yks
受験生の頃に書いた
京大数学の考察・受験数学の解説・数学の勉強法・参考書のレビュー
を残しています.メインは受験数学の解説です.少しでも受験生に役立てば幸いです.
(最新2つの記事がまとめ記事になっています)
今は管理人は大学生ですが,受験数学についてでしたら答えれますので,質問などあればコメントしていただければと思います.
これからは数学について適当に投稿していこうと考えています.
数式を気軽に投稿できるblogってないんですかね?


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