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京大特色入試 サンプル問題4

問題(多少省略してあります)
フィボナッチ数列の第n項を a_nとし,a_nが素数となる6以上の添字をmとする.
k=(a_m)^2とおく.また,(1+√5)^n=b_n+c_n√5 とb_n,c_nを定める.
(1)c_nをa_nで表わせ.
(2)b_k-1とc_k-1はa_mで割り切れることを示せ.
(3)k-1はmで割り切れることを示せ.
難易度としては京大前期入試で出されれば難問ですが,4題4時間,つまり1時間かけれることを考えると,そこまで難しい問題とは思いません,が,(3)はそれなりに難しいかもしれません.

(1)
これは易しい.ビネの公式からc_n=a_n*2^(n-1)です.

(2)
この設問が(2)なのは,ちょっと意地悪です.
(1)よりも先に(2)の設問がある方が自然な流れな気がします.
(1)が先にあるので,(1),つまりフィボナッチ数列のほうから攻めるのかと思いきや,実は(1)は関係ない設問です.
それにさえ気づけば,よくある整数問題です.

(a_m)=pと置けば,
(1+√5)^(p^2)=Σ[k=0,p^2]C(p^2,k)*(√5)^k
であり,C(p^2,k)がk=0,p^2を除けばpの倍数であるため
((p^2)!を素因数分解すると素因数pは3つだが,(p^2-k)!,k!にはそれぞれ高々1つずつしか素因数pをもたない)
b_p^2≡1(mod.p)はすぐにわかります.
c_p^2についてはc_p^2≡5^{(p^2-1)/2}(mod.p)ですが,フェルマーの小定理から,p>5であることと併せて5^(p-1)≡1(mod.p)です.したがって,{5^(p-1)}^{(p+1)/2} ≡1(mod.p) のため,c_p^2≡1(mod.p)となります.

ちょっとフェルマーの小定理を知らないと最後が厳しいかもしれませんが…受験層はこれくらい知っていてほしいということなのか,これくらいは導出できるようになっておけということなのか….

(3)
添字とフィボナッチ数列自体に関連があるということらしいので,とりあえず実験をします.mod.pで数列を眺めれば,
a_(m+1)≡a_(m-1)≡r(とする)
a_(m+2)≡r
a_(m+3)≡2r
a_(m+4)≡3r
a_(m+5)≡5r
...
a_(m+m)≡(a_m)*r≡0
となっています.(rの係数に再びフィボナッチ数列が現れている)
したがって帰納的にa_(km)≡0(mod.p)とわかります.(kは自然数) (厳密には帰納法で示すべきですが)
つまり,添字lがmの倍数であることと,数列a_lがpの倍数であることは同値です.
したがって,a_(p^2-1)がpで割り切れることを示せばよいわけですが,(1)より
a_(p^2-1)*2^(p^2-2)=c_(p^2-1) であるため,a^(p^2-1)≡0⇔c_(p^2-1)≡0です.
更に,
b_p^2=b_(p^2-1)+5c_(p^2-1)
c_p^2=b_(p^2-1)+c_(p^2-1)
であるので,(2)と併せてmod.pで眺めれば
5c_(p^2-1)-1≡-b_(p^2-1)
c_(p^2-1)-1≡-b_(p^2-1)
よって 4c_(p^2-1)≡0,4とpは互いに素なのでc_(p^2-1)≡0(mod.p),よってa_(p^2-1)もpの倍数なので,k-1がmで割り切れることが言えました.

答えだけを見れば易しそうですが,実際は(1+√5)^nとフィボナッチ数列どちらにも着目しなければならないため,なかなかスラスラとはいかない問題です.自分も(1)の誘導に騙されたりと30分以上かかっています.
ただまぁ,1時間かけれるので,多分特色入試のレベルからすると完答必須なんではないでしょうか.

仮に誘導がない,つまり
13以上のフィボナッチ素数pが現れる添字をmとする.p^2-1はmで割り切れることを示せ.
という出題だったら大変難しい問題と思います.
こういった漸化式の剰余の問題で一般項を求めるのは基本的には悪手とされているので,(1+√5)^nを二項展開するという発想にはなかなか到れない気がします.

似たような問題に09年京大前期6番がありますが,整数問題としては09年のほうが難しい気もします.
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yks

Author:yks
受験生の頃に書いた
京大数学の考察・受験数学の解説・数学の勉強法・参考書のレビュー
を残しています.メインは受験数学の解説です.少しでも受験生に役立てば幸いです.
(最新2つの記事がまとめ記事になっています)
今は管理人は大学生ですが,受験数学についてでしたら答えれますので,質問などあればコメントしていただければと思います.
これからは数学について適当に投稿していこうと考えています.
数式を気軽に投稿できるblogってないんですかね?


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