有名問題

y=x^2+ax+b(-1≦x≦1)の最大値の絶対値が1/2以上であることを示せ.

そのまま示すならば|x^2+ax+b|≧1/2となるxの存在を示すことに,
そのまま示さないならば-1≦x≦1における任意のxに対し|x^2+ax+b|<1/2となるとして矛盾を示すことになる.

普通に考えれば使える条件が多い後者が選択となる.

「任意のx」とはいえ,二次関数は基本的に3つのxの値さえ定まれば一意的に定まるので,
特別なx3つに対し|f(k)|<1/2となるとして矛盾を示してやればよい.
-1≦x≦1ではx=-1,0,1が候補になるだろう.

すると
|1+a+b|<1/2
|1-a+b|<1/2
|b|<1/2 となるわけであるが,

1>|1+a+b|+|1-a+b|>|2+2b| から1/2>|1+b|を得,
|b|<1/2 ⇔ -1/2<b<1/2
|1+b|<1/2 ⇔ -3/2<b<-1/2
なのでbが存在せず矛盾.よって,|x^2+ax+b|≧1/2となるxは-1≦x≦1の範囲に存在する.

三角不等式を使うところがトリッキーかもしれないが,別に普通に絶対値を処理しても解ける.
むしろ「3つのxにおける値によって関数を決定する」という方針が思い浮かびづらい.

これは…一種の知識として割り切るしかないように思う.
たとえば二次関数を扱うとき平方完成をするだとか,y=0となるxがα,βのときに(x-α)(x-β)と表記してしまうようにと,より関数を扱いやすくするためにこういった見方をすることがある.
本問で用いた発想もこういったもので,これは思いつきというよりは一種の知識.
(http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/mondai/node4.html)
与えられている関数が一般ならともかく,二次関数なので余計考え辛くなっているとも思える.
(普通は軸で場合分けするので.この問題がむしろ特殊)

本問は背理法を使わずとも,(x^2+ax)とbの数直線上の距離としてみても解けるが,あまり汎用性があるとも思えない.こちらのほうが広がりのある解法といえる.
たとえば1995年京都大学後期3番などがこの考えを用いるものであり,数直線を用いる発想ではやりにくい.

-------

なぜ本問が有名問題か?

それは
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch02/node36.html
を読むとわかる.

こういった背景知識があれば…

まずx^2-1/2が x=±1で1/2という値を,x=0で-1/2という値をとることを押さえる.
次に|f(x)|<1/2を満たす二次関数があると仮定する.すると図形的に必ずf(x)-x^2+1/2=0を満たす解は必ず2個存在するが,f(x)の最高次の係数は1なので1個しか解を持ちえず,矛盾.

この発想自体は
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch02/node39.html

というように昔は要求されていたよう.

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yks

Author:yks
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を残しています.メインは受験数学の解説です.少しでも受験生に役立てば幸いです.
(最新2つの記事がまとめ記事になっています)
今は管理人は大学生ですが,受験数学についてでしたら答えれますので,質問などあればコメントしていただければと思います.
これからは数学について適当に投稿していこうと考えています.
数式を気軽に投稿できるblogってないんですかね?


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