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2011年奈良県立医科大学

実数の数列{a_n}は任意の正整数p,qに対して|a_(p+q)-a_p-a_q|<1を満たしている.

(1)任意の正整数nと,2以上の任意の整数kに対して
|a_kn-ka_n|<k-1
が成立することを示せ.

(2)任意の正整数n,kに対して不等式
|na_(n+k)-(n+k)a_n|<2n+k-2
が成立することを示せ.


(1)
離散変数の全称なのでとりあえず帰納法.見た感じkをindexにとるとよさそう.
k=2のときは|a_2n-2a_n|<1が言えればいいが,与えられた式に対しp=q=nとすることで示される.
k=Lのとき成立しているとしよう(L≧2).つまり
|a_Ln-La_n|<L-1…① が成立しているとする。このとき|a_(L+1)n-(L+1)a_n|<Lが示せればよいが,
与えられた式にp=Ln,q=nとすれば
|a_(L+1)n-a_Ln-a_n|<1…②

①,②を足すと
|a_(L+1)n-a_Ln-a_n|+|a_Ln-La_n|<L となり
(左辺)>|a_(L+1)n-(L+1)a_n|(∵三角不等式)
よって|a_(L+1)n-(L+1)a_n|<Lが言える.従ってk=L+1のときも成立.従って任意の自然数nと2以上の任意の整数kに対し
|a_kn-ka_n|<k-1が成立することがいえた.

(2)
こちらは帰納法は上手く行かないので,直接示す,つまり式変形の方向性で行く.
(1)はk=1のときも|a_kn-ka_n|≦k-1とすれば成立する.
パーツ1:|na_(n+k)-na_n-na_k|<n(∵三角不等式)
パーツ2:|na_k-a_kn|≦n-1
パーツ3:|a_kn-ka_n|≦k-1
以上これらを足しあげて
|na_(n+k)-(n+k)a_n|<2n+k-2 を得る.

(1)はともかく,(2)は典型的ではなく,難しいです.((2)は気付くまで30分以上要した)
近年の東大理系の難問及び,京大の難問に見られる「誘導で与えられた道具を如何に使うか」タイプの問題.
(2)を気付くかは運の要素もあるので,帰納法で上手く回らなければ撤退して後で考えるのが得策でしょう.
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yks

Author:yks
受験生の頃に書いた
京大数学の考察・受験数学の解説・数学の勉強法・参考書のレビュー
を残しています.メインは受験数学の解説です.少しでも受験生に役立てば幸いです.
(最新2つの記事がまとめ記事になっています)
今は管理人は大学生ですが,受験数学についてでしたら答えれますので,質問などあればコメントしていただければと思います.
これからは数学について適当に投稿していこうと考えています.
数式を気軽に投稿できるblogってないんですかね?


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