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雑記(数学の勉強法)

自分の考えの整理の為。
数学の勉強法について

(i)この記事を書くに至った経緯について

僕自身,数学が好きで,高校1年生から「面白い」という一心で勉強してきました。
もちろん大学内容に踏み込んだり(齧る程度)もしていましたが,
高校時代やってきた数学の大部分は高校数学範囲内でいろいろと問題を解くということも楽しみの1つでした。
そして僕自身,一般的な高校生よりは多くそういった勉強に時間を費やしてきたと思っています。

そんな勉強の中で,ずっと考えていたのは
「数学をどう学習すればより多くの問題が効率よく解けるようになるのか」
という問でした。
とにかく受験数学で解けない問題が無いレベルまで持っていきたいという気持ちがありましたから,
この問いに対し,何か良い答えが無いかと考えてきましたし,
いくらかその答え(考え)を自分の中で何度も改良を重ね,築きあげていってはいました。
しかし,明確に「これだ」という考えは持っていませんでした。

そんな中,どうしたものかと浪人している現在まで悩んでいたのですが,
つい最近,「こう勉強すればよいのではないか」という具体的な数学の勉強法が固まってきたのではないか,と思い始めたのです。これはとある人に影響されたからなのですが,詳しくは後述します。
なので,この考えを纏めようと思い立ったわけなのですが,それなら色々と考えてきたことを全て纏めてしまおう,と思いこの記事を書き始めたわけです。

胡散臭いですし,エール出版の本みたいな感じで申し訳ないのですが,別に営利目的でもないですし,自分のblogに考えを書き連ねたいというだけなので,何かしらの偶然で見てくださっている方は,「こういうものか」という程度の気持ちで見ていただければな,と思います。

(ii)自身の,数学の学習の推移(現役時,今の考えは後述)

高校1年生の頃は,正直言って受験の知識など皆無でしたから,
2chの大学受験板の「数学の勉強の仕方」というスレッドを参考にしていました。
テンプレに従い,当時は初学者用の「これでわかる数学」や「本質の研究」で勉強していたでしょうか。
この頃は,「暗記数学なんてダメ、考え抜けば自然と身に付くし,チャートのように膨大な問題などやらなくてもよい」という姿勢(これは,本質の研究の著者,長岡亮介先生の考えでもあります)でした。
また,数学Ⅰの範囲に限りますが,一対一対応もやっていました。これも上と同様にすごく時間をかけてやりました。あとは数A対策として「ハッと目覚める確率」もやっていました。(全部ではない) この頃は数Ⅱ・数Ⅲはほぼやっていませんでした。
当時は易しい模試ばかりでしたので,この勉強で満点近く取れていました。

高校2年生の頃は,一番だらけていたので余り勉強自体やっていなかったのですが,この頃になって,
「本質の研究」という参考書に疑問を抱いてきました。そう思った原因は2つあり,
1つは「本質という割には事項の説明が浅いのではないか」ということであり,1つは「問題に対してどう取り組むかがまったくかかれておらず,実戦的でもないし,かつ時間が無い状態でやれば(考え抜く時間がなければ)むしろ暗記数学寄りになるのではないか」と思ったからです。
そういったこともあり,この時期に
「数学が解けるようになるには,その分野のことをより深く理解することが大切なのではないか」
という考えを持つようになりました。(これで解法についてもカバーできると当時は考えていた)
そして,この考えに適した参考書が,駿台から出ている
「受験数学の理論(駿台)」という本でした。また,この時期から少し大学の数学(≠大学への数学)にも手を出し始めていたと思います。この本を利用していくらかの分野の勉強をしていきました。また,数列・ベクトルについては「教科書Nextシリーズ(東京出版)」といういくらかより受験に偏ったものを利用していました。
これは,自身の数学の知識の基盤を作り上げた本として,今でもやってよかったと思っています。
また,これらを終え,総まとめとして「新スタンダード演習(東京出版)」という演習書を冬ごろにやっていたと思います。まあ,参考書についても後述するつもりなのでここでは詳しくは述べません。

高校3年生になって,「月刊大学への数学」を定期購読しはじめました。
基本的には,それと「微積分基礎の極意」,「解法の探求微積分」を平行してやっていっていたと思います。
(すべてやったわけではない)
あとは,過去問をボチボチですが10年分くらいやっていたでしょうか。
このころは数ⅢCはインプット,数Ⅰ・Ⅱ・A・Bはアウトプットとクッキリわけていました。
当時は解けない問題は「解法を覚える」,解ける問題は「もう解かない」とハッキリ分ける勉強をして,演習メインのような感じでした。解けなければすぐ解答を見ていたと思います。(学力コンテストは除く)
つまり,この頃になっても解けないものは諦めてすぐ解答を見る,という高1の頃とは間逆の考えを持つようになってきたのです。また,一度解けた問題はもう二度と見なくて良いなどとも思っていました。少しこの時期になって,暗記数学に傾倒してきた感じがあったと思います。

ただ,そういった多量の演習が功を奏してか,10月頃になって,数Ⅲのあまり見かけないような問題や,難問(東大のような空間絡みなど)を除けば,「時間をかければたいがい解ける」という状態に持っていけました。(苦手分野もあったので,完璧にではないですが)そして,自身それで良いと思っていました。
京大模試でも数学の偏差値は基本的に70は越えていましたし,学コンも満点周辺を安定して取れていたからです。
なので,数学に対して自信を持ってはいたのですが,少し不安に思うことがありました。それは,
「どうも,京大の過去問は答えを見ると簡単なのだけど,割と躓くことが多い」
と思うことがあるということでした。しかし,結局入試当日まで
「わからなかった問題はどうしてこの解法で解き進めれるのかということは検討してはいるものの,最初の一手(どうしてこの解法を選択したのか)については「経験だから」ということしか考えない」
というスタンスを続けてしまい,不安を払拭することはできませんでした。
まあ,入試本番はいままでの経験のおかげか
2,3を定型問題と見なせ即完答でき,5,6も学力コンテストで培ってきた思考法で解くことができたのでそこそこの成績ではあったのですが,1は白紙でしたし,4(2)は検討不足という「危うさ」はある結果でした。
(まあ,4(2)はしょうがないと思っていますが。)

なので,こんな成績を残せたのも,たまたま運が良かったからなのではないか,と僕はやはり不安を抱え続けたままだったのです。 

と,こんな感じで現役の頃は勉強していました。

勉強法の推移だけ纏めれば,
「しっかり全ての問題を1から考えることが大切」→「考えるためにはある程度前提知識が必要,そのためには基礎事項は暗記しなければならない」→「基礎事項を暗記して,かつ標準レベルの演習も積み,定石のストックも十分ある時点で,解けなければその問題ごと記憶してしまえばよい」
といった感じです。はじめの考えはともかく,考えが変わった浪人の今の時期でも,2つ目と3つ目については一部それがいいだろう,とは思っています。

以上が,自身の勉強法の推移です。


(iii)どのような数学の勉強法が良いか

勉強してきて思ったのですが,これは「学習段階」によると思っています。
基本的に,「非暗記数学」は初学のときにやるべきものではないでしょう。
僕自身高1の頃にやるにはやったのですが,時間がかかりすぎます。また,程度の高い数B,数Ⅲでこれをやるのは,かなりシンドい(数学1・Aは基礎は簡単なのでいけたけど)のではないでしょうか。
そういう意味で,僕のはじめの勉強法は間違っているといえるでしょう。
「非暗記数学」というのは,一度定石をストックし終えてからやるものだと思います。

ただし,かといって初学の時点で青チャートなど網羅系をやるというのも正直言って余り賛同はできません。
やはりはじめは「授業(教科書)」を聞く(読む)べきなのです。
(僕自身は授業も聞いてないし,教科書も買ってなく,受数理論だとか教科書nextでやったのだけど,おそらく授業で代用できる?と思います。ただ,受験数学の理論と教科書nextは重いのだけど,系統立っていて授業があっても読む価値はあると思うけど)
なぜならば,いきなり解法暗記からはじめてしまうと,その分野ありきではなく,解法ありきになってしまう可能性があるからです。これは,正直言って模試だとか定期テストとかでは表立って差は出てこないのですが(見知らぬ問題はあまり出ないし,問題自体も解法ありきのものが多いので),
いざ見慣れない問題の多い入試問題を解くとなってくると,明確に差が出てくるのではないかと考えています。
つまり,いきなり青チャートから入ると,
「問題」→「解法」
のステップしかないですが,ちゃんと理論だててその分野を理解してから解法を習得すれば,
「問題」→「その分野にまたがる基盤」→「解法」
という,「その問題を大局的に見る」という行為をはさむことができ,見知らぬ問題に遭遇したときでも,根本的な基盤をもとに解法を考えるということができ,解き進めることができるというメリットがあります。いわゆる「非暗記数学」なんかも,そういった基盤を暗記しないことには「見知らぬ問題」も解けないのではないでしょうか。
そういった意味で教科書的知識は必須であると考えています。断片的になりがちな定石インプットに,ひとつの芯を通すことができるというのは,強みになるのではないかと考えています。

以上のことをまとめれば,
初学段階:授業もしくは受験数学の理論などで1つの芯を通す(この時点では暗記メインでOK)
基礎定石導入段階:ある程度は考え(初学段階でやったことを定着させるため,わからない問題はそういう定石なんだとインプットしてしまう(青チャート,フォーカスゴールド,一対一など)
ここまでは定着させるための演習題はともかく,例題はあまり考えなくても良いと思う。
演習段階:時間の許す限り考える,解けなかった問題は検討を重ねて,覚える(ただし,やり方は工夫が必要,(iv)で記述)
というように「暗記」からだんだんと「思考」へと以降していく形がよいのではないか,と考えています。

基本的に「初学段階」と「基礎定石導入段階」は,これで良いと現在思っています。
これを全分野で行うことができれば,あとは演習をすれば十分でしょう。
ただし,「演習段階」はどうやるのが最善かは今までよくわかっていませんでした。
そして,この部分において自分の考えがやっと確立してきたのです。
以下で,「演習段階」について詳しく述べていこうと思います。

(iv)どのように演習していけばよいか

まず,はじめに断っておくと,僕が今までやってきたように,
「わからない問題,知らない定石はすべて流れを記憶してしまう」
というやり方でも,普通は入試で高得点は取れると思います。
なぜならば,「この問題と似た問題を経験したことがあるな」という状態まで持っていければ,
よほど難しいだとかのことが無い限り,完答できるからです。また,定石選択にしても,類題経験だとか,フィーリングとかだとかで,わりとうまく行ったりすることも多いからです。現に僕がそうでした。
なので,数学でよほど高得点が狙いたいとかでなければ,それで良いと思います。
ただし,「安定して数学で良い得点を取りたい」のであれば,上の学習法では厳しいとは思います。(入試本番では)
よく,数学は水物だとか,安定しないから博打だとか言われますが,僕はそうは思いません。もちろん,他の教科に比べてブレやすいという点は否めませんが,安定しないのは「ブレてしまうような勉強方法をしてるから」だと思っています。

では,どうすれば安定して高得点が取れるのか。それを僕は長いこと考えてきました。
1つは,「大量に解法をストックしてしまう」ということでしょう。おそらく医学部受験生などはこんな感じなのではないのでしょうか。ただし,これは勉強量が多くなりますし,コスパは悪いと思います。
もちろん,類題が連想できればすぐ完答できるので,強いといえば強いのですが。
今まで,僕はコレでやってきていました。これで模試なんかはなんとでもなるのですが,
入試だとか学コンだのの見慣れない問題に対しては,解けはするものの,解答スピードが極めて遅いという状態でした。これは,こういった姿勢なのですから,当然です。
大量に解法をストックしてしまえば,高得点が取れるとは書きましたが,あくまで理論上は,ということです。
これでは,仮に入試本番なんかでそういった問題が出された場合,点数がガタ落ちする可能性があるのは当然です。一題に手間取り,他に影響が出る,なんてこともありうるのですから。
なので,ずっと,「解答スピードを上げる方法がないか」とか「実戦的にどう解いていけばいいのか」などが気になっていました。

そういった疑問に応えてくれたのが,「入試数学の掌握(エール出版)」という本でした。
この本で徹底的に貫かれていたスタンスというのが,
「素朴な発想で色々な問題(扱っている問題の多くはやや難レベル)を手堅く解けるようになればいい」ということでした。
僕も常々,「大学への数学」の「一部の記事(全てでは無い)」の解法は華麗ですし楽しいけれど,「実践的ではないのではないか」と思い,一応ストックとしては入れてはいたのですが,本当に意味があるのか,と疑問に思っていました。
しかし,この本の著者は,とあるblogで
「最近の東大・京大・阪大の入試問題は「この特殊な発想や解法知らんと無理」ってのは少なくて、むしろ、余計なことを考えると回り道したり、解答不能になったりするように出来てるから、教わった色々な解法が、
「その解法に捕らわれると三大学入試ではむしろ害になる」こともありうることを把握しなければならない」
とおっしゃっていました。
この記述をみて,とてもなるほど,と思わされました。
確かに,自分の解答スピードが遅い原因は,(計算スピードはともかく)
「複数の定石からベターなものを選ぶのに時間がかかっている」ことと,
「問題を見てどうアプローチするかが確立されていなく,経験則でやっている」
ということだったので,「素朴な発想で手堅く解く」ということがまさに自分には欠けているな,と感じたからです。
余計な定石…かどうかは大学によるのですが,少なくとも京大であれば,そういった背景知識が多くは不要だとわかったのも,ひとつの収穫でありました。
また,先ほどあげた「多くの解法をストックする」というのは,むしろ点数が下がる原因にもなりうることに気付けたのも大きかったです。つまり,前者は博打(演習をつむことによって,できる限り失敗の確率を下げる)であるということなのです。

よって,僕のような凡人が,堅実に高得点を取るためには,
「どのようにしてアプローチするかを分野や問題形式ごとに確立し,かつどのような解法を選択するのがベターなのかを考えるような習慣をつける」
ということが必要なのです。
また,点数を安定させるためには,「計算ミスのチェックを答案作成中に行うことや,行き詰ったらある程度のところまで立ち返る」など,問題を解いている最中の意識にも常に注意を払う(模試でなく,自宅の演習でも)ことも大切だと思います。

つまり,ただ漠然と問題を解いて,解けたらそれで終わり,解けなければこういう発想で思いついた解法だから~ などと演習していったとしても,結局は博打にしかならないわけで,明確に意識を持った上で演習に取り組まないことには安定など望めない,というわけなのです。

では,具体的にどう演習すればよいのか。それはその本には書いてないことなのですが,自分なりに考えたことを書くと,
①分野ごとに基礎的な定石を纏め上げる(掌握では<鉄則>と呼んでいる)
②問題に取り組むときは,どのような定石を選択するかなどを,1つに絞らずある程度候補立てる意識を持つ
③解き終わった後,正誤によらず何故その定石で解けたかの必然性をチェックし,また他の定石でうまくいくならばそれについての考察し,上手くいかないのならばどうして上手くいかないのかを考える。
最善の解法はどれかということに注意を払うようにする。
④解けなかった問題については,どうして解けなかったかを考え,知らない定石を用いていた場合は,「受験する大学」の過去問であれば記憶にとどめ,そうでなければ極力素朴な解法を探すようにし,突飛な発想を要するようなものは,観賞用と割り切る。
⑤ある程度問題を解いたら,問題ごとに似たグループなどで再編成してみる
⑥家で解くにしても,本番で解いているかのような心構えで解く

ということでしょう。こういった,「定石の選択」というのが東大・京大では重要になってくるため,こういったことを踏まえた上で過去問に取り組むのが最善なのではないでしょうか。
とにかく,問題に取り組む「第一手」が大切で,その第一手をスムーズに決めるために,あらかじめ問題タイプごとに定石をまとめておくということも大切でしょう。非常に時間のかかる作業ですが,ただ漠然と問題を解くよりも得られる効果は多いのではないか,と考えています。また,「素朴な発想」という点が,実のところ一番重要なのはないかとも思っています。

定石の必要性の見極めのために,過去問を研究するというのも大切なことでしょう。(出やすい分野を知るということは当然として)

(v)そういった勉強を行っていく上で,どのような参考書・問題集を選択すればよいか

「教科書Next+受験数学の理論+ハッと目覚める確率+整数の基礎(青空学園)」(芯を通す)
→「一対一対応(A以外)」(基礎定石を入れる)
→スタ演1A2B+微積分基礎の極意+解法の探求微積分(原則編のみ) (1A2Bの一対一のためのアウトプット,3の有名問題のインプット,探求は数Ⅲの計算をいかに減らすかというノウハウを知るために読む)
→掌握(part1,part2) (定石選択のノウハウを詰め込む) +(必須ではないけどできれば:数学を決める論証力(同値なことの判別など,論証で詰まりやすいことが詰め込まれていてすごく良い)
→やさしい理系数学or河合入試問題集 でテストゼミ形式で演習する (掌握のアウトプット)
→入試過去問 (掌握のアウトプットおよび,大学の傾向を掴む)

まあ,理想のプランです。果たして高Ⅰの自分がこれを実行できたかはわかりません。
オススメなのは,(★は特にオススメ)
「教科書Next」,「★ハッと目覚める確率」,「★解放の探求微積分(原則編)」,「微積分基礎の極意」
「★入試数学の掌握」,「数学を決める論証力」
です。確率は,「ハッと目覚める確率」がとても良いです。素朴な発想で,解ききるというスタンスの本なので。


(vi)大学への数学について

上で多少批判もしましたが,挙げている参考書に東京出版のものが多いように,
なんだかんがで完成度が高い本が多いと思います。
とにかく,大数は,すべてやる必要のないものが多いです。一部だけ選んでやればいいのですが,
そういった裁量というのはなかなか勉強が進んでこないとわからないもので,
そういう意味であまり手を出さないほうがいいというのは正しいと思いますが,
読まないのも損だとは思います。
以下,書籍について評価を述べます。

・1対1・スタ演…大数にしては素朴かつ上手い解法が多く,最低限知っておきたい定石集という感じ。
・新数演…言われるほど難しくは無いけど,問題が古いので出ない問題が多く,解法もそれ限りというのもあり,よほど暇でもない限りやる必要は無いと思われる。(全部やったわけではないのですが)
・教科書Next…ていねいに系統だって纏められていて,かつ大数独特の解き方にも触れられているという,非常にオススメな本。難易度が割と低いことも良い。(やったのは数列・ベクトル)
・マスターオブ整数…整数はあまり定石がないので,この本で網羅できれば強みにはなるが,一部不要と思われるものもあったり,テーマありきになっていたりするのはイマイチ。ただし,類書が皆無なのでこれでやるしかないという印象。
・マスターオブ場合の数…立ち読みしただけだけど,明らかに入試じゃなくて数オリ向け。
・解決へのアプローチ・数学ショートプログラム…読む側に要求される能力が高すぎるし,入試で枷になりそうな定石が多すぎる。解答として使えなさそうな解法も多く,正直オススメできない。
・微積分基礎の極意…2部,3部はよくまとまっているし,微積分の「常識」も知れてすごく楽。類書もない。
・解法の探求微積分…演習編はほぼ不要。原則編の定石は,掌握の<鉄則>に近い。計算量の軽減の方法など一般的な定石などが書いてあったり,積分計算の工夫など読む価値のあるものが多い。原則編だけでもかなり重いのが難
・ハッと目覚める確率…素朴な姿勢が一貫していて,とてもよい。ただし安田の本は書き方が特有なので読みづらさがあるかもしれない。
・解法の突破口…掌握に近いけど,掌握のほうが完成度は高い。あと突破口はレベルが高すぎてやりづらい。生かせるレベルまで持っていける人がいるのか疑問。
・数学を決める論証力…欠陥論法や,連立系の同値性,文字は「存在」で捉えるなど割と答案では頻出なのに意識されないことが多く纏められていてよい。1章,2章はやる価値あり。3章は数オリ向けなのでスルーでOK。
類書が無いのでできれば目を通しておきたい。
・月刊大学への数学…多く問題に目を通せること,記事が有益なものが多いことなど利点は多いが,量が多すぎてこなしきれないのが難点。学力コンテストは思考訓練になってすごくよい。見慣れない問題への練習になる。
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プロフィール

yks

Author:yks
受験生の頃に書いた
京大数学の考察・受験数学の解説・数学の勉強法・参考書のレビュー
を残しています.メインは受験数学の解説です.少しでも受験生に役立てば幸いです.
(最新2つの記事がまとめ記事になっています)
今は管理人は大学生ですが,受験数学についてでしたら答えれますので,質問などあればコメントしていただければと思います.
これからは数学について適当に投稿していこうと考えています.
数式を気軽に投稿できるblogってないんですかね?


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