京都大学整数 年度順

数列の論証など,整数の手法は用いないものは除きました。
1957年 文理共通
a,b,c,d,e,fをいずれも0から9までの数字とする。
6ケタの整数abcdefを適当に定めて,その2倍がcdefabとなるようなa,b,c,d,e,fを求めよ。

1971年 理系
(1)xy平面上において,辺の長さが1で,辺が座標軸に平行な正方形(周もこめる)は少なくとも1つの格子点を含むことを示せ。
(2)辺の長さが√2の正方形(周もこめる)は,どのような位置にあっても少なくとも1つの格子点を含むことを示せ。

1973年 文理共通
3桁の整数をαをとり,αの1の位と百の位の数を入れ替えて出来る整数をα´とする。
ただし,012,002など2桁の数もはじめに0をつけ,3桁とみなす。
0≦α≦999としたとき,α-α´全体の集合をAとし,Aに含まれる正の整数全体の集合をBとする。
(1)A,Bに属する整数の個数を求めよ。
(2)Bに属する整数の総和を求めよ。

1974年 文理共通
正の定数a,bに対して不等式
4m<n^2<4m+(a/√m)+(b/m)
を考え,次の問に答えよ。
(1)m>0かつm,nがともに整数であって,この不等式を満たすようなm,nの組は有限であることを示せ。
(2)a=8,b=9,m≧9であるときは,上の不等式を満たす整数m,nの組はn^2=4m+1を満たすことを示せ。
(3)(2)の場合のm,nの組のうち,nが最大のものを求めよ。

1977年 文系改題
pが素数であれば,どんな自然数nについてもn^p-nはpで割り切れることを示せ。

1978年 文系
f(x)は実数を係数とするxの多項式とする。
(1)すべての整数kに対して,f(x)が整数である必要十分条件は,
f(0)が整数であって,f(k)-f(k-1)が整数となることであることを示せ。
(2)f(x)=ax^2+bx+cのとき,すべての整数kについて,f(k)が整数となるために,
係数a,b,cが満たすべき必要十分条件を求めよ。

1978年 理系 B
m,nは整数とし,f(x)=x^3+mx^2+nx+2とする。
(1)f(x)=0が三つの整数解(重解があってもよい)を持つようなm,nの組を全て求めよ。
(2)f(x)=0が少なくともひとつの整数解をもつために,m,nが満たすべき必要十分条件を求めよ。
(3)|m|≦5,|n|≦5の範囲で,(2)の条件を満たすm,nの組はいくつあるか。

1988年 文系
f(x)=ax^3+bx^2+cxをxの三次式とする。
すべての整数nに対して,f(n)が整数となるための必要十分条件は,適当な整数p,q,rをとると,
f(x)=(p/6)*x(x+1)(x+2) +(q/2)*x(x+1)+rx と表されることであることを示せ。

1989年 後期文理共通
2つの奇数a.bに対して,m=11a+b,n=3a+bと置く。次の(1),(2)を証明せよ。
(1)m,nの最大公約数は,a,bの最大公約数をdとして、2d,4d,8dのいずれかである。
(2)m,nがともに平方数とはならない。

1989年 後期理学部専用問題
4つの格子点O(0,0),A(a,b),B(a,b+1),C(0,1)を考える。ただし,a,bは正の整数で,互いに素である。
(1)平行四辺形OABCの内部(辺は含まない)に格子点はいくつあるか。
(2)(1)の格子点全体をP_1,…,P_iとするとき,三角形OP_iAの面積のうちの最小値を求めよ。

1990年 前期文理共通 C
三角形ABCにおいて,∠B=60°,Bの対辺の長さbは整数,他の2辺の長さa,cはいずれも素数であるとき,
三角形ABCは正三角形であることを示せ。

1990年 後期理学部専用問題
nを奇数とし,f(x)=|sin(2πx/n)|とする。
(1)集合{f(k)|kは整数}はいくつの要素を持つか。
(2)m,nを互いに素な整数とすると,
集合{f(mk)|kは0≦k≦(n-1)/2なる整数}はmによらず一定であることを示せ。

1991年 後期理学部専用問題
整数を係数とする3次の多項式f(x)が次の条件を満たしている。
条件:任意の自然数nに対し,f(n)はn(n+1)(n+2)で割り切れる
このとき,ある整数aがあって,f(x)=ax(x+1)(x+2)となることを示せ。

1992年 前期文理共通 B
θは0<θ<π/2の範囲の角とする。
(1)sin3θ=sin2θを満たすθを求めよ。
(2)m,nを0以上の整数とする。θについての方程式
sin3θ=msin2θ+nsinθが解をもつときの(m,n)と,そのときの解θを求めよ。

1992年 後期文系改題
kは0以上の整数とする。x^2-y^2=kの解(a,b)で,a,bがともに奇数であるものを奇数解と呼ぶ。
奇数解を持つための必要十分条件を求めよ。

1994年 前期文理共通 B
nを0または正の整数とする。a_nを
a_0=1,a_1=2,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n で定める。
a_nを3で割ったあまりをb_nとし,c_n=Σ[k=0,n]b_nとする。
(1)c_{n+8}=c_n+c_7を示せ。
(2)n+1≦c_n≦3/2*(n+1)を示せ。

1994年 後期理系 C
a,b,c,dを整数とし,行列A=([a,b],[c,d])を考える。
([a_0,b_0],[c_0,d_0])=([1,0],[0,1])とし,自然数nに対してA^n=([a_n,b_n],[c_n,d_n])とする。
(1)n≧0にたいして,c_(n+2)-(a+d)c_(n+1)+(ad-bc)c_n=0を示せ。
(2)pを素数とし,a+dはpで割り切れないものとする。ある自然数kについて,c_kとc_(k+1)がpで割り切れるならば,すべてのnについてc_kはpで割り切れることを示せ。

1995年 前期理系 C
a,bはa>bを満たす自然数とし,p,dは素数でpは奇素数とする。
このとき,a^p-b^p=dであるならば,dを2pで割った余りは1であることを示せ。

1996年 前期理系 C
与えられた自然数kに対し,数列{a_n}をa_1=0,a_n=[(a_{n-1}+k)/3]によって定める。
(1)k=8およびk=9のとき数列を求めよ。
(2)すべての自然数nに対し,a_n≦(k-1)/2,a_n≦a_{n+1}を示せ。
(3)a_n=a_{n+1}ならば,n以上のすべての自然数mに対しa_n=a_mであることを示し,このときのa_nの値を全て求めよ。

1996年 後期文系 B
nは2以上の自然数,pは素数,a_0,…,a_(n-1)は整数とし,n次式
f(x)=x_n+Σ[k=0,n-1]p*a_k*x^k を考える。
(1)方程式f(x)=0が整数解αを持てば,αはpで割り切れることを示せ。
(2)a_0がpで割り切れなければ,f(x)=0は整数解を持たないことを示せ。

1996年 後期理系 C
m,nは自然数で,m<nを満たすものとする。
m^n+1,n^m+1がともに10の倍数となる(m,n)を1つ与えよ。

1996年 後期理系 C
nは自然数とする。
(1)すべての実数θに対し,
cosnθ=f_n(cosθ),sinnθ=g_n(cosθ)sinθを満たし,
係数がともにすべて整数であるn次式f_n(x)と,n-1次式g_n(x)が存在することを示せ。
(2)f´_n(x)=ng_n(x)を示せ。
(3)pを奇素数とする。f_p(x)のp-1次以下の係数はすべてpで割り切れることを示せ。

1997年 前期文系 C
自然数nの約数の個数をdとする。nの約数すべてを小さい順に並べて得られる数列をa_k(1≦k≦d)とする。
したがって,
a_1=1,a_d=n,a_k<a_{k+1} である。このとき,nに関する2つの条件(i)と(ii)が同値であることを示せ。
(i)nは60の倍数
(ii)nは6個以上の約数を持ち,1/a_3 + 1/a_6 = 1/a_2 となる。

1997年 前期理系 C
nが相異なる素数p,qの世紀であるとき,(n-1)個の数C(n,k) (1≦k≦n-1)の最大公約数は1であることを示せ。

1997年 後期文系 B
(1)m,nを2つの正整数とする。
cosm°,sinm°,cosn°,sinn°のすべてが有理数であるとき,
cos(m+n)°,sin(m+n)°はどちらも有理数であることを示せ。
(2)mは60の約数とする。このとき,cosm°とsinm°のうち少なくとも一方は無理数であることを示せ。

1998年 前期理系 B
f(x)=x^2+7と置く。
(1)nは3以上の自然数で,ある自然数aにたいして,f(a)は2^nの倍数になっているとする。
このときf(a)とf(a+2^(n-1))のうち少なくとも一方は2^(n+1)の倍数であることを示せ。
(2)任意の自然数nに対して,f(a_n)が2^nの倍数となるような自然数a_nが存在することを示せ。

1998年 後期文系改題 C
a,b,p,qは全て自然数で,
(p^2+q^2)/a = pq/b
を満たしている。aとbは互いに素とする。√(a+2b)は自然数であることを示せ。

1999年 前期文系改題 B
0以上の整数xに対して,C(x)でxの下2桁を表すことにする。
また,nを2でも5でも割り切れない0以上の整数とする。
C(nx)=1となる0以上の整数xが存在することを示せ。

1999年 後期文系改題 C
自然数a,b,cについて,等式a^2+b^2=c^2が成り立ち,かつa,bは互いに素とする。またaは奇数とする。
このとき,a+c=2d^2となる自然数dが存在することを示せ。

1999年 前期理系 C
(1)有理数p,q,rについて,p+q√2+r√3=0ならば,p=q=r=0であることを示せ。
(2)実数係数の2次式f(x)=x^2+ax+bについて,f(1),f(1+√2),f(√3)のいずれかは有理数であることを示せ。

1999年 後期理系 C
a,bを整数,u,vを有理数とする。u+v√3がx^2+ax+b=0の解ならば,u,vは整数であることを示せ。

2000年 前期文系 
三角形ABCにおいて,BC,CA,ABの長さをそれぞれa,b,cとする。この三角形ABCは次の3条件を満たすとする。
(i)ともに2以上である自然数pとqが存在して,a=p+q,b=pq+p,c=pq+1となる。
(ii)自然数nが存在して,a,b,cのいずれかは2^nである。
(iii)∠A,∠B,∠Cのいずれかは60°である。
(1)∠A,∠B,∠Cを大きさの順に並べよ。
(2)a,b,cを求めよ。

2000年 前期理系 D
pを素数,a,bを互いに素な正の整数とするとき,(a+bi)^pは実数でないことを示せ。

2000年 後期文系
(1)格子点を頂点とする三角形の面積は1/2以上であることを示せ。
(2)格子点を頂点とする凸四角形の面積が1であるとき,この四角形は平行四辺形であることを示せ。

2000年 後期文理共通改題 C
任意のθに対し,|cosmθ|>1/2 を満たす自然数mが存在することを示せ。

2000年 後期理系 C
a,kは整数で,a≧2とし,直線L:ax+(a^2+1)y=kを考える。
(1)L上の格子点を1つ求めよ。
(2)k=a(a^2+1)のとき,x>0,y>0の領域に直線L上の格子点はないことを示せ。
(3)k>a(a^2+1)ならば,x>0,y>0の領域に直線L上の格子点は存在することを示せ。

2001年 前期文系 
任意の整数nに対し,n^9-n^3は9で割り切れることを示せ。

2001年 前期理系 B
整数nに対し,f(n)=n(n-1)/2とおき,a_n=i^{f(n)}と置く。
このとき,a_(n+k)=a_nが任意の整数nに対し成り立つようなkを全て求めよ。

2001年 前期理系改題 D
整数m_1~m_n,l,p(pは2以上の整数,1≦m_i≦p-1)に対して,
Σ[k=1,n]m_k=plを満たす整数m_iの選び方の個数をa_nとする。
a_{n+2}をa_{n+1},a_nを用いて表せ。

2001年 後期理系 B
x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-5=0を満たす正の整数の組(x,y,z)を全て求めよ。

2002年 前期文理共通 B
f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1
は整数を係数とするxの4次式とする。4次方程式f(x)=0の重解を含めた4つの解のうち,
2つは整数であり2つは虚数であるという。a,b,cを求めよ。

2002年 前期文系 B
4個の整数1,a,b,cは1<a<b<cを満たしている。これらの中から相異なる2個を取り出して和を作ると,
1+aからb+cまでのすべての整数の値を取りうるという。a,b,cを全て求めよ。

2003年 前期文系 B
pは奇素数であり,x,yは0≦x,y≦pを満たす整数であるとする。このとき,
x^2を2pで割った余りと,y^2を2pで割った余りが等しければ,x=yであることを示せ。

2004年 前期文系改題 C
n,a,bを0以上の整数とする。nに対して,a,bを未知数とする方程式
a^2+b^2=2^n …(*)
を満たすa,bの組をすべて求めよ。

2005年 前期理系 B
a^3-b^3=217を満たす整数の組(a,b)を全て求めよ。

2006年 前期理系 B
2以上の整数に対し,nとn^2+2がともに素数となるのはn=3に限ることを示せ。

2007年 理系 C
pを奇素数とする。4個の整数a,b,c,dが次の3条件
a+b+c+d=0,ad-bc+p=0,a≧b≧c≧d 
を満たすとき,a,b,c,dをpを用いて表せ。

2009年 理系乙 D
a,bを互いに素な自然数とする。aは奇数とする。自然数nに対して
整数a_n,b_nを(a+b√2)^n=a_n+b_n√2を満たすように定めるとき,
(1)a_2とb_2は互いに素であることを示せ。
(2)すべてのnに対し,a_nは奇数であり,かつa_nとb_nは互いに素であることを示せ。

2010年 理系乙 C
(1)mを正の整数,a=2^mとする。3^a-1は2^{m+2}では割り切れるが2^{m+3}では割り切れないことを示せ。
(2)nを正の偶数とする。3^m-1が2^mで割り切れるならば,m=2またはm=4であることを示せ。

2012年 理系 C
P(x)は有理数を係数とするxの多項式で,P(2^{1/3})=0を満たすとする。このときP(x)はx^3-2で割り切れることを示せ。
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プロフィール

yks

Author:yks
受験生の頃に書いた
京大数学の考察・受験数学の解説・数学の勉強法・参考書のレビュー
を残しています.メインは受験数学の解説です.少しでも受験生に役立てば幸いです.
(最新2つの記事がまとめ記事になっています)
今は管理人は大学生ですが,受験数学についてでしたら答えれますので,質問などあればコメントしていただければと思います.
これからは数学について適当に投稿していこうと考えています.
数式を気軽に投稿できるblogってないんですかね?


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